Ошибочное написание. Мальчик бросил камнем в воду.
Пояснение. Должно быть - бросил камень (значение объекта, а не орудия действия) в воду.
Правильное написание. Мать сильно тревожилась за сына.
Пояснение. Тревожиться за кого-нибудь.
Правильное написание. Абитуриенты зачислены в университет согласно приказу ректора.
Пояснение. Согласно чему (+ дательный падеж).
Ошибочное написание. Мы наблюдали за солнечным затмением.
Пояснение.  Должно быть: Мы наблюдали солнечное затмение.
Наблюдать что (проводить наблюдения).
Наблюдать за чем (иметь надзор: наблюдать за порядком).
Ошибочное написание. Тургенев любил и рассказывал нам о неиссякаемой мощи природы.
Пояснение. Должно быть: Тургенев любил природу и рассказывал о ее неиссякаемой мощи.
При двух или нескольких однородных членах ставится общее управляемое слово только при условии, если управляющие слова требуют одинакового падежа и предлога. В нашем случае слова любить и рассказывать требуют разного управления: любить что, рассказывать о чем.