Причастный оборот должен стоять до или после слова, к которому относится.

Ошибочное написание. Абитуриенты, не напишущие тест в мае, будут сдавать экзамен в июле.
Пояснение. Форм причастий на -щий от глаголов совершенного вида (со значением будущего времени) не существует (напишущий). Здесь возможна замена причастного оборота придаточным определительным (Абитуриенты, которые не напишут тест в мае, будут сдавать экзамен в июле).
Ошибочное написание. Тест, выполняющийся нами, не вызывает особых затруднений.
Пояснение. Смешано возвратное и страдательное значение частицы -ся. Должно быть - тест, выполняемый нами.