Двоеточие между простыми предложениями ставится в бессоюзном сложном предложении, если
а) второе предложение обозначает причину действия в первом предложении
Павка лёг на дрова и уснул: усталость одолела   (Н. Островский).
Примечание. Перед вторым предложением можно поставить союз потому что (или так как);
б) второе предложение раскрывает или дополняет смысл первого
Стал Жилин вглядываться: маячит что-то в долине (Л. Толстой).
Примечание. Перед вторым предложением можно вставить слова и увидел что?

 

Правильные варианты ответов следующие:
Павка лег на дрова и уснул: усталость одолела. Я не ошибся: старик не отказался от предлагаемого стакана. Сергей прислушался: за стеной кто-то плакал.
(пунктуационное правило №23).